परिमेय व अपरिमेय संख्याएँ

 

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) -

सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को वास्तविक संख्या कहते हैं । इन्हें R सेव्यक्तकियाजाताहै।

आशय - वास्तविकसंख्याएंयातोपरिमेयहोतीहैंयाअपरिमेय।

             

1.  परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

2.  अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) -

शब्द ‘Rational’ कीव्युत्पत्तिअँग्रेज़ीशब्द‘Ratio’ जिसका आशय है – अनुपात।  Q , ‘Quotient’सेलियागयाहै।

जब हम किसी संख्या को p/q केरूप में लिखसकतेहैं (जहां q ≠ 0), तोवहसंख्यापरिमेयसंख्याकहलातीहै।इन्हें हम Q से प्रदर्शित करते हैं ।

यहाँ इस बात पर विशेष ध्यान देना आवश्यक है, कि q कामान0केबराबरनहींहोनाचाहिए। इसकाकारणयहहै,कि किसी संख्या को 0सेभागदेनासंभवनहींहै।

p / q एक परिमेय संख्या कब होगी ?

जब हम p/q करेंअर्थात p को q सेभागदें, तो p में q कायातोपूरा - पूराभागचलाजाए (अर्थात सांत दशमलव प्राप्त होगा) या फिर भाग फल में दशमलव प्रसार सांत आवर्ती हो । सांत दशमलव वह होता है जिसमें अंत में 0आ जाए।

जब हम किसी p को q सेभागदेतेहैं , तोहमेंभागफलतीनरूपोंमेंप्राप्तहोसकताहै -

1.  सांत दशमलव के रूप में,

2.  असांत आवर्ती दशमलव के रूप में ,

3.  सांत आनावर्ती दशमलव के रूप में ।

4/5 = .80 (सांत दशमलव)

6/7 = .8571428571428571…… = .857142

4/9 = .444444444……….......... = .4

11/7 = 1.5714285714285…….. = 1.571428

(असांतआवर्तीदशमलव)

√2 = 1.4142135623730950488016887242096...

π = 3.14159265358979323846264338327950...

0.10110111011110…

(असांतअनावर्तीदशमलव)

परिमेय संख्याओं के अंतर्गत सभी प्राकृत संख्याएँ , पूर्णसंख्याएँऔरपूर्णांकसंख्याएँआतीहैं। 

0  = 0/1

4  = 4/1

-6 = -6/1

परिमेय संख्याओं के उदाहरण -

2,2/3 , √4 , -2/5

●    प्रत्येक प्राकृत संख्या एक परिमेय संख्या होती है ,

●    प्रत्येक पूर्ण संख्या एक परिमेय स्नाख्या होती है ,

●    प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है ।

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)-

संख्या रेखा पर ऐसी भी संख्याएँ हैं जो परिमेय संख्याएँ नहीं है ।

ऐसी संख्याएँ जिन्हें हम p/q केरूपमेंन लिखसकें , अपरिमेयसंख्याएँकहलातीहैं। यहाँ p व q पूर्णांकहैंऔर q ≠ 0

हम किसी संख्या को p / q के रूप में कब नहीं लिख सकते ?

इनमें अपरिमेयता होती है। अर्थात जब p / q कादशमलवप्रसारअसांतअनावर्तीहोतीहै।

जैसे -

√2 = 1.4142135623730950488016887242096...

π = 3.14159265358979323846264338327950...

0.10110111011110…